Correction des exercices : combinaisons linéaires, intersection

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Contenu du cours

Correction de l'exercice 1

Il s'agit de déterminer pour chaque vecteur $u$ s'il s'écrit sous la forme $u=\lambda a+\mu b$.

Or,  $\lambda a+\mu b = (\lambda+2\mu,3\lambda+\mu,\mu)$. On est donc amené  à poser des systèmes de deux inconnues, trois équations, et à les résoudre.

1.  Pour $u_1$ : $\left\{ \begin{array}{ll}\lambda+2\mu  = 1 \\ 3\lambda+\mu =  1 \\ \mu  = 1\\ \end{array} \right.$, qui implique donc : $\mu=1$, $\lambda=-1$, $-2=1$... Le système n'a pas de solutions.

$u_1$ n'est pas combinaison linéaire de $a$ et de $b$.

1. Pour $u_2$ : $\left\{\begin{array}{lll}\lambda+2 \mu  =1 \\ 3\lambda+\mu  = 0 \\ \mu  =  0\end{array}\right.$, qui implique donc : $\mu=0$,$\lambda=1$, $3=0$... Le système n'a pas de solutions.

$u_2$ n'est pas combinaison linéaire de $a$ et de $b$.

3.  Pour $u_3$ : $\left\{\begin{array}{ll} \lambda+2\mu =  0 \\ 3\lambda+\mu  = 1 \\\mu  =  1\\ \end{array}\right.$, qui implique donc : $\mu=1$, $\lambda=-2$, $-5=1$... Le système n'a pas de solutions.

$u_3$ n'est pas combinaison linéaire de $a$ et de $b$.

1. Pour $u_4$ : $\left\{\begin{array}{ll}\lambda+2\mu  =  1 \\ 3\lambda+\mu = -2 \\\mu  =   1\\\end{array}\right.$, qui implique donc : $\mu=1$, $\lambda=-1$, $-2=-2$. Le système a une solution : $\mu=1$, $\lambda=-1$.

On a $u_4=-a+b$. $u_4$ est combinaison linéaire de $a$ et de $b$.

Correction de l'exercice 2

1. On a évidemment $g_1=0f_1+0f_2$ : $g_1$ est bien une combinaison linéaire de $f_1$ et de $f_2$.

2. On a $g_2=4f_1+1f_2$.

$g_2$ est combinaison linéaire de $f_1$ et de $f_2$.

1. Supposons deux scalaires $\lambda$ et $\mu$ tels que $g_3=\lambda f_1+\mu f_2$.

On remarque que $g_3(0)=0$. Or $f_1(0)=0$ et $f_2(0)=1$. L'égalité  $g_3=\lambda f_1+\mu f_2$ nous donne donc $0=0\lambda+1\mu$, et donc $\mu=0$.

Par ailleurs   $g_3(\frac{\pi}{2})=0$. Or $f_1(\frac{\pi}{2})=1$ et $f_2(\frac{\pi}{2})=0$. L'égalité $g_3=\lambda f_1+\mu f_2$ nous donne donc $0=1\lambda+0\mu$, et donc $\lambda=0$.

On obtient donc $g_3=0$, ce qui est évidemment faux.

$g_3$ n'est pas combinaison linéaire de $f_1$ et de $f_2$.

1. On remarque que $g_4(x)=\sin x\cos 3+\cos x\sin 3$,  donc $g_4=\cos(3)f_1+\sin(3)f_2$.

Donc $g_4$ est combinaison linéaire de $f_1$ et de $f_2$.

5.  Supposons que $g_5=\lambda f_1+\mu f_2$.

En posant $x=0$ dans cette égalité, on a donc $0=0\lambda+1\mu$, d'où $\mu=0$.

En posant $x=\pi$, on a : $-\pi^2=0\lambda-\mu$, d'où $\mu=\pi^2$.

On arrive à  $\mu=0=\pi^2$, ce qui est faux. Donc $g_5$ n'est pas combinaison linéaire de $f_1$ et de $f_2$.

Correction de l'exercice 3

1. On cherche donc à écrire $u=\lambda_1 v_1+\lambda_2 v_2+\lambda_3 v_3$. Il faut donc : $\left\{\begin{array}{lll} \lambda_1  =  x \\ -\lambda_1+\lambda_2 = y \\ -\lambda_2+\lambda_3 = z \\ -\lambda_3  = t\\ \end{array} \right.$.

Ce qui aboutit, en résolvant le système (en voyant $x,y,z,t$ comme des constantes et non des inconnues) : $\left\{ \begin{array}{lll} \lambda_1  =  x \\ \lambda_2 = x+y \\  \lambda_3 = x+y+z \\ x+y+z+t  =  0\\ \end{array} \right.$.

Le système n'a donc de solutions que lorsque $x+y+z+t=0$, qui est la condition nécessaire et suffisante recherchée.

Dans ce cas, on a la combinaison linéaire suivante : $u=xv_1+(x+y)v_2+(x+y+z)v_3$.

Correction de l'exercice 4

1.  $F_1$ contient bien la suite nulle. Soient deux suites $u\in F_1$ et $v\in F_1$, $\lambda\in\mathbb{R}$, $\mu\in\mathbb{R}$ et $w=\lambda u+\mu v$. On a $w_0=\lambda u_0+\mu v_0=0$ et donc $w\in F_1$.

$F_1$ est bien un sev de $E$.

2.  La suite nulle est convergente. Une combinaison linéaire de deux suites convergentes est convergente. $F_2$ est bien un sev de $E$.

3.  La suite nulle est bornée. Une combinaison linéaire de deux suites bornées est bornée. $F_3$ est bien un sev de $E$.

1. La réunion de deux sev n'est en général pas un sev. Considérons les suites définies par $u_n=n$ et $v_n=3$. On a clairement $(u_n)\in F_1$ et $(v_n)\in F_2$. Donc $(u_n)\in F_4$ et $(v_n)\in F_4$. Par contre la suite $(w_n)=(u_n+v_n)$ n'est pas dans $F_1$ (puisque $w_0=3$), ni dans $F_2$ (puisque $w_n=n+3$ diverge). Donc $(w_n)\not\in F_4$.

$F_4$ n'est pas stable par l'addition et n'est pas un sev de $E$.

5.  Toute suite convergente est bornée. On a donc $F_2\subset F_3$ et donc $F_5=F_3$ est un sev de $E$.

6.  L'intersection de deux sev est un sev donc $F_6$ est un sev de $E$.

1. De même, $F_7$ est un sev de $E$.

8.  $F_8$ ne contient pas la suite nulle, puisque cette suite est dans $F_1$. Donc $F_8$ n'est pas un sev de $E$.